Molto spesso questi due verbi vengono confusi perché ritenuti l'uno sinonimo dell'altro. Sono, invece, due verbi a sé stanti con significati completamente diversi.
Il primo — come recitano i vocabolari — significa spingere a un determinato atteggiamento o comportamento, quindi incitare, convincere, persuadere e può essere seguito tanto dalla preposizione in quanto dalla preposizione a: indurre qualcuno in tentazione; indurre in errore; il suo comportamento mi ha indotto a lasciare la comitiva. L'uso di questa o quella preposizione dipende, naturalmente, dal contesto.
Il secondo sta per accondiscendere, acconsentire e simili e si costruisce esclusivamente con la preposizione a: indulgere agli errori; indulgere alla tentazione; indulgere ai desiderata di qualcuno.
Alcuni vocabolari, forse per analogia con indurre, consentono l'uso della preposizione in, ma è un uso arbitrario che non trova riscontri nei testi letterari.

Etimo.it - indurre
Etimo.it - indulgere

Cortese dott. Raso,
esiste un termine per definire una malalingua; una persona che parla male di te agli altri, e agli altri male di te? Mi sembra che ci sia un termine apposito, ma non sono riuscito a scovarlo nei vocabolari. Può dirmi qualcosa in merito? Grazie e complimenti per il suo encomiabile lavoro in difesa della nostra bella lingua. Cordialmente.
Costantino C.
Carbonia

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Gentile Costantino, il termine apposito esiste, anzi esisteva ed è tecomeco ma non è piú attestato nei comuni vocabolari dell'uso. Lo può trovare cliccando sui collegamenti in calce.

Google.it - tecomeco

Un incesto linguistico
Quanto stiamo per scrivere – siamo sicuri – farà ridere molti sedicenti linguisti: se cosí sarà la cosa ci lascerà nella piú squallida indifferenza, certi della bontà di quanto sosteniamo.
Si sentono e si leggono, molto spesso, frasi tipo "Giovanna è sposata con un figlio"; "Giovanni è sposato con una figlia". E allora? Direte.
Queste frasi ci fanno pensare a un incesto, un "incesto linguistico", potremmo dire. Sí, perché le frasi in oggetto richiamano, appunto, l'incesto: Giovanna ha sposato il figlio e Giovanni ha sposato la figlia.
Questo "incesto" si può evitare con l'aggiunta di una "e": Giovanna è sposata e con un figlio; Giovanni è sposato e con una figlia. Pedanteria? Giudicate voi, amici, amanti del bel parlare e del bello scrivere.